TEORIA DEI SISTEMI

Prof. Roberto Zanasi

FINALITÀ DEL CORSO

Il corso fornisce le metodologie di base per l'analisi ed il controllo di sistemi dinamici lineari, non lineari, continui, discreti, di tipo SISO e MIMO. La descrizione dinamica a cui si fa maggiormente riferimento nel corso è quella nello spazio degli stati. I concetti presentati estendono e completano quelli già introdotti nel corso di Controlli Automatici.

PROGRAMMA

1. Introduzione

Definizione astratta di sistema dinamico. Proprietà della funzione di transizione. Sistema continuo regolare. Linearità. Definizione di sistema lineare. Soluzione della funzione di stato: caso continuo e caso discreto. Sistemi stazionari. Sistemi lineari invarianti: caso continuo e caso discreto. Autovalori ed autovettori. Polinomio minimo di una matrice. Forma canonica di Jordan. Autovettori generalizzati. Esponenziale di matrice. Potenza k-esima di una matrice. Uso della trasformata di Laplace nel caso di sistemi continui. Uso della Z-trasformata nel caso di sistemi discreti. Matrice di trasferimento: caso continuo e caso discreto. Esempi di modellistica di sistemi dinamici nello spazio degli stati.

2. Analisi modale

Analisi modale per un sistema discreto: rappresentazione mediante schemi a blocchi e andamento dei modi. Analisi modale per un sistema continuo: rappresentazione mediante schemi a blocchi e

andamento dei modi. Andamenti tipici delle traiettorie nello spazio degli stati. Esercizi ed esempi di analisi modale.

3. Stabilità

Definizione di stabilità secondo Lyapunov. Stabilità del movimento. Stabilità della traiettoria. Stabilità uniforme. Stabilità asintotica. Stati di equilibrio per sistemi regolari: caso continuo e caso discreto. Proprietà di Malkin. Stabilità dell'uscita. Funzioni definite positive. Forme quadratiche.

Criterio di stabilità di Lyapunov: caso continuo e caso discreto. Criterio di stabilità di La Salle - Krasowskii. Criteri di instabilità di Cetaev e di Lyapunov. Stabilità dei sistemi lineari. Criteri di stabilità per i sistemi lineari. Equazione di Lyapunov per sistemi continui e per sistemi discreti. Linearizzazione di sistemi non lineari nell'intorno dei punti di equilibrio. Criterio ridotto di Lyapunov: caso continuo e caso discreto.

4. Controllabilità e raggiungibilità

Definizione di controllabilità e raggiungibilità per sistemi continui e discreti. Raggiungibilità nel caso di sistemi lineari: caso continuo e caso discreto. Matrice di raggiungibilità. Controllabilità nel caso di sistemi lineari: caso continuo e caso discreto. Forma standard di raggiungibilità. Controllo di sistemi lineari: caso continuo e caso discreto. Forma canonica di controllo. Retroazione dello stato ed allocazione degli autovalori per sistemi continui e per sistemi discreti. Formula di Ackermann.

5. Osservabilità, ricostruibilità e sintesi del regolatore

Osservabilità e ricostruibilità nel caso di sistemi lineari: caso continuo e caso discreto. Determinazione dello stato iniziale e dello stato finale di un sistema. Matrice di osservabilità. Dualità e sistemi duali. Forma standard di osservabilità. Forma canonica di osservabilità. Scomposizione canonica di Kalman. Stimatori asintotici dello stato in catena aperta e in catena chiusa. Stimatori asintotici di ordine ridotto. Sintesi del regolatore. Proprietà di separazione.

6. Sistemi interconnessi e teoria della realizzazione

Connessione in serie. Connessione in parallelo. Connessione in retroazione. Osservabilità e ricostruibilità nel caso di sistemi interconnessi. Connessione tra sistemi discreti e sistemi continui. Sistemi a segnali campionati. Elementi di teoria della realizzazione.

Metodo di verifica: esame scritto e discussione orale.

Testi consigliati:

E. Fornasini, G. Marchesini: "Appunti di Teoria dei Sistemi", Ed.

Libreria Progetto (Padova).

E. Fornasini, G. Marchesini: "Esercizi di Teoria dei Sistemi", Ed.

Libreria Progetto (Padova).

Fotocopie dei lucidi utilizzati a lezione dal docente.