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 \newcommand{\mat}[2]{\left[\begin{array}{#1} #2 \end{array}\right]}
 \definecolor{mygreen}{RGB}{28,172,0}
 \lstset{language=Matlab, basicstyle=\scriptsize\ttfamily, numberstyle=\tiny,
  commentstyle=\color{mygreen}, stepnumber=0.1, frame=single, rulecolor=\color{blue}}

 \def\x{{\bf x}} \def\y{{\bf y}}  \def\u{{\bf u}}
 \def\X{{\bf X}} \def\Y{{\bf Y}}  \def\U{{\bf U}}  \def\H{{\bf H}}
 \def\A{{\bf A}} \def\B{{\bf B}} \def\C{{\bf C}} \def\D{{\bf D}} \def\L{{\bf L}}
 \def\T{{\bf T}} \def\oox{\overline{\x}} \newcommand{\tras}{^{\mbox{\tiny T}}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
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\newcommand{\scr}{\scriptstyle}
\newcommand{\und}{\underline}
\newcommand{\gradi}{^\circ}

\newcommand{\piu}{\begin{picture}(0,0)
 \put(0,0){\pscircle[linewidth=0.4pt]{0.5}}
 \psline(0.5; 45)(0.5;225)
 \psline(0.5;315)(0.5;135)
\end{picture}}

\newcommand{\dst}{\begin{picture}(0,0)
 \put(0.293,0){\pscircle*{0.207}}
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\newcommand{\snt}{\begin{picture}(0,0)
 \put(-0.293,0){\pscircle*{0.207}}
\end{picture}}

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 \put(0      ,-0.293 ){\pscircle*{0.207}}
\end{picture}}

\newcommand{\su}{\begin{picture}(0,0)
 \put(0      ,0.293 ){\pscircle*{0.207}}
\end{picture}}



 \newcommand{\ea}{\'e }
 \newcommand{\ee}{\`e }
 \newcommand{\oo}{\'o }
 \newcommand{\uu}{\'u }
 \newcommand{\ac}{\'a }
 \newcommand{\ad}{\'a}


 \begin{document}
 \large
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%PG%%$$ nome = Electrical_DC_Motor
 %%PG%%$$ Show='POG_Latex_Relation_SI';
 %%PG%%$$ Font_Size='\large'; Compile_Tex_File='No';
 %%PG%%   **, Use_Simscape_Blocks, Yes
 %%PG%%   **, Use_Colored_SCH_Scheme, Yes
 %%PG%%   **, Use_Colored_POG_Scheme, Yes
 %%PG%%   **, Use_Colored_En_Fn_in_POG_Scheme, No
 %%PG%%   **, Put_First_the_Integrator_in_POG_Scheme, No
 %%PG%%   **, Input_Variable_U,
 %%PG%%   **, Output_Variable_Y,
 %%PG%%   *P, a=(0+1i*1.1), b=(0+1i*0.1), c=(0+1i*0), d=(0.85+1i*1.1), e=(1.9+1i*1.1), f=(1.9+1i*1)
 %%PG%%   *P, g=(1.9+1i*0.2), h=(1.9+1i*0.1), k=(2.35+1i*1.11), i=(2.35+1i*1), j=(2.35+1i*0.2), l=(2.35+1i*0.1)
 %%PG%%   *P, m=(3.2+1i*1.11), n=(3.2+1i*0.41), o=(3.2+1i*0.1), p=(3.75+1i*1.11), q=(3.75+1i*0.1), r=(3.75+1i*0)
 %%PG%%   *P, s=(4.45+1i*1.11), t=(4.45+1i*0.1)
 %%PG%%   eV, a, b               , En, V_1=100, Fn, I_1
 %%PG%%   eL, a, d, Kn, L_a=0.003, En, V_a    , Fn, I_a=0
 %%PG%%   eR, d, e, Kn, R_a=1    , En, V_R_a  , Fn, I_3
 %%PG%%   CB, [f;i], [g;j], Kn, F2=K_m*F1, Kn0, 0.5, En, [E_m;w_5], Fn, [I_4;C_m], Sh, [0;-0], La, 0.45, TyOfTG, xTy
 %%PG%%   rJ, m, n, Kn, J_m=0.01 , En, w_m=0  , Fn, T_6
 %%PG%%   rB, p, q, Kn, b_m=0.002, En, w_7    , Fn, T_b_m
 %%PG%%   rT, s, t               , En, w_8    , Fn, C_p=0
 %%PG%%   --, h, b
 %%PG%%   --, f, e
 %%PG%%   --, g, h
 %%PG%%   --, j, l
 %%PG%%   --, i, k
 %%PG%%   --, l, o
 %%PG%%   --, k, m
 %%PG%%   --, o, n, ShSNCL, Yes
 %%PG%%   --, o, q
 %%PG%%   --, p, m
 %%PG%%   --, t, q
 %%PG%%   --, s, p
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%   BEGIN_Electrical_DC_Motor
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \section{POG Relation: Electrical\_DC\_Motor}

 Consider the following physical physical system:\\
 \begin{center}\large
 \psfrag{V1}[rc][rc]{$\black V_1$}
 \psfrag{La}[cb][cb]{$\black L_a$}
 \psfrag{Ia}[ct][ct]{$\black I_a$}
 \psfrag{Ra}[cb][cb]{$\black R_a$}
 \psfrag{VRa}[ct][ct]{$\black V_{Ra}$}
 \psfrag{Em}[rc][rc]{$\black E_m$}
 \psfrag{Cm}[rc][rc]{$\black C_m$}
 \psfrag{T=Km}[cc][cc][0.7]{$\black T\!=\!K_m$}
 \psfrag{Jm}[lc][lc]{$\black J_m$}
 \psfrag{wm}[rc][rc]{$\black w_m$}
 \psfrag{bm}[lc][lc]{$\black b_m$}
 \psfrag{Tbm}[rc][rc]{$\black T_{bm}$}
 \psfrag{Cp}[rc][rc]{$\black C_p$}
 \includegraphics[clip,width=0.9\columnwidth]{Electrical_DC_Motor_SCH.eps}
  \end{center}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
The corresponding POG block scheme is:\\
 \begin{center}\large
 \psfrag{I1}[rc][rc]{$I_1$}
 \psfrag{V1}[rc][rc]{$V_1$}
 \psfrag{1/La}[cc][cc]{$\black \frac{1}{L_a}$}
 \psfrag{1/s}[cc][cc]{$\black \frac{1}{s}$}
 \psfrag{Ia}[ct][ct]{$I_a$}
 \psfrag{Ra}[cc][cc]{$\black R_a$}
 \psfrag{VRa}[lb][lb]{$V_{Ra}$}
 \psfrag{Km}[cc][cc]{$\black K_m$}
 \psfrag{Km}[cc][cc]{$\black K_m$}
 \psfrag{1/Jm}[cc][cc]{$\black \frac{1}{J_m}$}
 \psfrag{1/s}[cc][cc]{$\black \frac{1}{s}$}
 \psfrag{wm}[cb][cb]{$w_m$}
 \psfrag{bm}[cc][cc]{$\black b_m$}
 \psfrag{Tbm}[lt][lt]{$T_{bm}$}
 \psfrag{w8}[lc][lc]{$w_8$}
 \psfrag{Cp}[lc][lc]{$C_p$}
 \includegraphics[clip,width=0.9\columnwidth]{Electrical_DC_Motor_POG.eps}
  \end{center}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
The state space equations of the considered system have the following structure:
 \[
 \left\{\begin{array}{@{}r@{\;}c@{\;}l@{}}
 \L\,\dot{\x}&=&\A\,\x + \B\,\u\\ \y &=& \C\,\x
 \end{array} \right.
 \]
where the state vector $\x$, the input vector $\u$ and the output vector $\y$ are defined as follows:
 \[
 \x = \left[\begin{array}{c} I_{a}\\[2mm] w_{m} \end{array}\right],\hspace{2cm} \u = \left[\begin{array}{c} V_{1}\\[2mm] C_{p} \end{array}\right],\hspace{2cm} \y = \left[\begin{array}{c} I_{1}\\[2mm] w_{8} \end{array}\right].
 \]
%%%%%%%%
The state space equations of the considered system are the following:
\[\begin{array}{@{}r@{\;}c@{\;}l@{}}
\left[\begin{array}{cc} L_{a} & 0\\[2mm] 0 & J_{m} \end{array}\right]
\dot{\x}&=&
\left[\begin{array}{cc} -R_{a} & -K_{m}\\[2mm] K_{m} & -b_{m} \end{array}\right]
\left[\begin{array}{c} I_{a}\\[2mm] w_{m} \end{array}\right]
+
\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 \end{array}\right]
\left[\begin{array}{c} V_{1}\\[2mm] C_{p} \end{array}\right]
\\[8mm]
\left[\begin{array}{c} I_{1}\\[2mm] w_{8} \end{array}\right]
&=&
\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 \end{array}\right]
\x+
\left[\begin{array}{cc} 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 \end{array}\right]
\u
\end{array}\]
%%%%%%%%
The characteristic polynomial $\Delta(s)$ of the considered system is:
\[ \textstyle\Delta(s)  =
\left(J_{m}\,L_{a}\right)\,s^2+\left(L_{a}\,b_{m}+J_{m}\,R_{a}\right)\,s+{K_{m}}^2+R_{a}\,b_{m}
. \]
The transfer function  $\H(s)$ which links the input vector $\u(s)$ to the output vector $\y(s)$, $\y(s)=\H(s)\,\u(s)$, is the following:
\[ \H(s) = \frac{1}{\Delta(s)}
\left[\begin{array}{cc} b_{m}+J_{m} s & -K_{m}\\[2mm] K_{m} & R_{a}+L_{a} s \end{array}\right]
. \]

 \subsection{Numerical and simulation results}

System parameters, input values and initial conditions:
\begin{lstlisting}
 %%%%%%%%%%%%   SYSTEM PARAMETERS  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 L_a = 0.003*H;           % 2. Inductance L_a . Internal parameter.
 R_a = 1*Ohm;             % 3. Resistance R_a . Internal parameter.
 K_m = 0.5;               % 5. Parameter. Transformer/Gyrator.
 J_m = 0.01*kg*m^2;       % 6. Inertia J_m . Internal parameter.
 b_m = 0.002*N/(m/sec);   % 7. Angular Friction b_m . Internal parameter.
 %%%%%%%%%%%%   INPUT VALUES  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 V_1_0 = 100*V;           % 1. Voltage V_1_0. Input value.
 C_p_0 = 0*Nm;            % 8. Torque C_p_0. Input value.
 %%%%%%%%%%%%   INITIAL CONDITIONS X0 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 I_a_0 = 0*A;             % 2. Current I_a_0. Initial condition.
 w_m_0 = 0*rad/sec;       % 6. Angular Velocity w_m_0. Initial condition.
\end{lstlisting}
The numerical value of the transfer function $H(s)$ which links the input $V_1(s)$ to the output  $I_1(s)$ is: \[
H(s) = \frac{I_1(s)}{V_1(s)} =  \frac{0.01 s+0.002}{0.00003 s^2+0.010006 s+0.252}
.\]
The poles of the system are the following:
 \[ \mbox{Poles} =
\left[\begin{array}{c} -27.443\\[2mm] -306.09 \end{array}\right]
. \]
The settling time $T_s$ of the system is:
 \[ T_s = \frac{-3}{-27.443} = 0.10932 s
 .\]
The time behavior of the components of the state vector $\x$ obtained in simulation are the following:
\begin{center}
\includegraphics[clip,width=0.95\columnwidth]{Electrical_DC_Motor_X_950_SIM.eps}

\end{center}
 %%%%%%   END_Electrical_DC_Motor

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

Transfer function $G_{V}^\omega(s)$ which links the input $V_1(s)$ to the output  $\omega_m(s)$ is:
\[
G_{V}^\omega(s) = \frac{I_1(s)}{\omega_m(s)} = \frac{0.5}{0.00003.0\,s^2+0.01001\,s+0.252}
.\]



 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%  DIAGRAMMA DI BODE                         %%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  nome  = gs_24_11_2024_d1_BO
 %%>>%%  BO.Show=No
 %%>>%%  gs  = 0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  BO.Axes_W=[1  10000]
 %%>>%%  BO.Axes_Mag=[-80 20]
 %%>>%%  BO.Axes_Mag_Tick=[-100:20:100]
 %%>>%%  BO.Axes_Phase=[-180 0]
 %%>>%%  BO.Axes_Phase_Tick=[-360:90:360]
 %%>>%%  BO.Show_As=Si
 %%>>%%  BO.Show_G0s=Si
 %%>>%%  BO.Show_Goos=Si
 %%>>%%  BO.Show_G0=No
 %%>>%%  BO.Show_Beta=Si
 %%>>%%  BO.Show_Gamma=Si
 %%>>%%  BO.Show_Phi0=Si
%  %%>>%%  BO.Phi0=90
 % %%>>%%  BO.Phioo=-90
 %%>>%%  BO.Show_Phioo=Si
 %%>>%%  BO.Show_Axes=Si
 %%>>%%  device= -depsc
 % %%>>%%  BO.Esegui= semilogx(1,0,''*r'')
 %%%>>%%  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  LT.Inserisci=Si
 %%>>%%  LT.Function = 'CALCOLA_BODE_GS'
 %%>>%%  LT.Nome_Gs = 'G(s)'
 %%>>%%  LT.Solo_Figura=Si
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%% BEGIN_gs_24_11_2024_d1_BO
 I diagrammi  di Bode delle ampiezze e delle  fasi della funzione
 $G(s)$ sono mostrati in Fig.~\ref{BO_gs_24_11_2024_d1_BO}.
 \begin{figure}[p]
 \centering
 \psfrag{G0s}{$G_{0}(s)$}
 \psfrag{Goos}{$G_{\infty}(s)$}
 \psfrag{be}{$\beta$}
 \psfrag{ga}{$\gamma$}
 \psfrag{Phioo}{$\varphi_\infty$}
 \psfrag{Phi0}[b][b]{$\varphi_0$}
 \includegraphics[width=12.5cm]{BO_gs_24_11_2024_d1_BO.eps}
 \caption{Diagrammi di Bode  della funzione $G(s)$.}\label{BO_gs_24_11_2024_d1_BO}
 \end{figure}
 %%%%%%% END_gs_24_11_2024_d1_BO
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 Il diagramma statico $G_{V}^\omega(0)$ della funzione $G_{V}^\omega(s)$ \'e:
\[
G_{V}^\omega(0) = \left.G_{V}^\omega(0)\right|_{s=0} = 1.9841.
\]

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%  DIAGRAMMA DI NYQUIST                      %%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  nome  = gs_24_11_2024_d3_NY
 %%>>%%  NY.Show=No
 %%>>%%  gs  = 0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  gs  = 6.5647*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  gs  = 50*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='b'
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='c'
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='m'
 %%>>%%  NY.Show_W_Ticks=Si
 %%>>%%  NY.W_Ticks=[0 1200]
 %%>>%%  NY.Axes_Re=[-1.5 2.5]
% %%>>%%  NY.Axes_Re_Tick=[-12:2:12]
 %%>>%%  NY.Axes_Im=[1.5]
% %%>>%%  NY.Axes_Im_Tick=[-6:2:12]
%% %%>>%%  NY.Plot_nr_punti= 5000
% %%>>%%  NY.Frecce=[0.02 16  20  25]
% %%>>%%  NY.Show_Circle=No
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Nr=-1
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Side=1
 %%>>%%  NY.Show_Axes=Si
 %%>>%%  NY.Show_Negative=No
 %%>>%%  NY.Sigma_a_Posizione='r'
 %%>>%%  NY.Show_Sigma_a=Si
 %%>>%%  NY.Show_Mf=No
 %%>>%%  NY.Show_Ma=No
 %%>>%%  NY.Axes_Clip=Si
 %%>>%%  device= -depsc
% %%>>%%  NY.Esegui= semilogx(1,0,''*r'')
 %%%>>%%  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  LT.Inserisci=Si
 %%>>%%  LT.Function = 'CALCOLA_NYQUIST_GS'
 %%>>%%  LT.Nome_Gs = 'G(s)'
 %%>>%%  LT.Solo_Figura=Si
 %%>>%%  LT.Figura_Zoom=No
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%% BEGIN_gs_24_11_2024_d3_NY
Il diagramma di Nyquist della funzione $G(s)$ \ee mostrato in Fig.~\ref{NY_gs_24_11_2024_d3_NY}.
\begin{figure}[htbp]
\centering
 \includegraphics[width=12.5cm]{NY_gs_24_11_2024_d3_NY.eps}
 \caption{Il diagramma di Nyquist della funzione $G(s)$.}\label{NY_gs_24_11_2024_d3_NY}
 \end{figure}
 %%%%%%% END_gs_24_11_2024_d3_NY



\section{Progetto di rete correttrice}




 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  nome  = Routh_24_11_2024_d1
 %%>>%%  gs  = 0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  LT.Show=No
 %%>>%%  LT.Function = 'CALCOLA_ROUTH_GS'
 %%>>%%  LT.Domanda_Inserisci=Si
 %%>>%%  LT.Domanda_Item='d'
 %%>>%%  LT.Alternativa=No
 %%>>%%  LT.Dividi_Fattori={[10 1],10}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%% BEGIN_Routh_24_11_2024_d1
Sia dato il seguente sistema retroazionato:
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{2.8mm}
\psset{unit=1.0\unitlength}
\begin{picture}(31,7.5)(0,1)
\put(0,5){\vector(1,0){2.5}}
\put(3,5){\piu}
\put(3,5){\giu}
\put(4.75,5.5){\makebox(0,0)[b]{$e(t)$}}
\put(3.5,5){\vector(1,0){3.5}}
\put(7,3){\framebox(4,4){$\ds D(s) $}}
\put(11,5){\vector(1,0){3}}
\put(13.75,7.5){\makebox(18,0)[b]{$\ds G(s)$}}
\put(14,3){\framebox(18,4){$\ds \frac{50000}{( 3\,s^2 + 1001\,s + 25200)}$}}
\put(32,5){\vector(1,0){3.5}}
\put(33.5,5){\line(0,-1){4}}
\put(33.5,1){\line(-1,0){30.5}}
\put(3,1){\vector(0,1){3.5}}
\put(1,5.5){\makebox(0,0)[b]{$r(t)$}}
\put(34,5.5){\makebox(0,0)[b]{$y(t)$}}
\end{picture}
\end{center}

 Si consideri un regolatore proporzionale $D(s)=K$.

 \subsection{Criterio di Routh}
 I valori di $K$ per cui il sistema retroazionato \`e stabile si determina con il criterio di Routh.
 L'equazione caratteristica del sistema  retroazionato \`e: \[
1+ K\,\frac{50000}{( 3\,s^2 + 1001\,s + 25200)}=0
\hspace{5mm}\rightarrow \hspace{5mm}
3 s^2 + 1001 s + (50000K + 25200) = 0
\] La tabella di Routh ha la seguente struttura:
\[ \begin{array}{r|cc}
2 & 3 & 50000K + 25200\\[1mm]
1 & 1001 & \\[1mm]
0 & 50000K + 25200 & \\[1mm]
\end{array} \]
Imponendo che tutti gli elementi della prima colonna siano positivi
si ricava che il sistema  \ee stabile per:
\[
K > -0.504 =-\frac{1}{G(0)}.
\]
Questo risultato \'e evidente guardando il digramma di Nyquist.
 %%%%%%% END_Routh_24_11_2024_d1
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

 \subsection{Luogo delle radici}

  Si pu\'o utilizzare il Luogo delle radici per vedere se un regolatore proporzione \'e sufficiente per poter ottenere una buona prestazione del sistema retroazionato.

 L'andamento qualitativo del luogo delle radici
del sistema $G_{1}(s)$ per $K>0$ \'e
mostrato in Fig.~\ref{LR_gs_24_11_2024_a1}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \psfrag{Luogo delle radici}[b][b][0.9]{Luogo delle radici per $K>0$}
   \psfrag{sa}[b][b][0.9]{$\sigma_a$}
  \includegraphics[width=12cm]{LR_gs_24_11_2024_a1.eps}
 %%>>%%  nome  = gs_24_11_2024_a1
 %%>>%%  LR.Show=No
 %%>>%%  gs=0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  LR.Plot_Densita = 10
 %%>>%%  LR.Get_Frecce=Si
 %%>>%%  LR.Get_Points= 1.0e+02*[   -2.5927 + 0.0000i  -0.7944 - 0.0175i  -1.6653 + 1.8367i]
 %%>>%%  LR.Axes_Re=[-350 0]
% %%>>%%  LR.Axes_Re_Tick=[-20:2:60]
 %%>>%%  LR.Axes_Im=[-1 1]*300
% %%>>%%  LR.Axes_Im_Tick=[-20:2:20]
 %%>>%%  LR.Show_Axes=Si
 %%>>%%  LR.Show_Asintoti=Si
 %%>>%%  LR.Axes_Clip=Si
 %%>>%%  device= -depsc
% %%>>%%  LR.Esegui= semilogx(1,0,''*r'')
   \caption{Luogo delle radici del sistema $G_{1}(s)$ al variare di $K>0$}\label{LR_gs_24_11_2024_a1}
\end{figure}
Il luogo delle radici \`e caratterizzato da un solo asintoto che coincide con il semiasse negativo.
La posizione degli asintoti \'e mostrata in figura.
Il centro degli asintoti $\sigma_a$ \'e il seguente:
 \[
 \sigma_a=\frac{1}{2}\left(  -27.4297 -306.2369 \right)= -166.8333.
 \]
Il miglior transitorio nella risposta al gradino del sistema retroazionato si ottiene posizionando i poli dominanti in
\[
p_{1,2}  -166.8333 \pm j\, 300
\]
 Il corrispondete valore di $K$ si determina utilizzando la seguente formula:
 \[
 K_s=-\left.\frac{1}{G(s)}\right|_{s=  -166.8333 + 300} = 6.5647
 \]
 Il sistema retroazionato con un guadagno proporzionale  $K_s= 6.5647$ si ottiene usando la formula di Mason:
  \[
  G_0(s) = \frac{K_s\,G_{V}^\omega(s)}{1+K_s\,G_{V}^\omega(s)}
  \]
 Il diagramma di Nyquist della funzione $K_s\,G_{V}^\omega(s)$ \ee mostrato in ciano in Fig.~\ref{NY_gs_24_11_2024_d3_NY}.
 La risposta al gradino del sistema $G_{V}^\omega(s)$ e del sistema retroazionato $G_0(s)$ sono mostrati, rispettivamente in blue e in ciano, in  figura Fig.~\ref{TR_gs_24_11_2024_a1}.
\begin{figure}[htbp]
  \centering
 \psfrag{y(t)}[b][b][0.7]{$y_{1}(t)$}
 \psfrag{yi}[l][l][0.8]{$y_{\infty}$}
 \psfrag{Ta}[lb][lb][0.7]{$y_{\infty}$}
 \psfrag{Tw}[lb][lb][0.7]{$T_{a}$}
 \includegraphics[width=12.5cm]{TR_gs_24_11_2024_d_10.eps}
 %%>>%%  nome  = gs_24_11_2024_d_10
 %%>>%%  gs= 0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  gs= 6.5647*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  hs= 0
 %%>>%%  hs= 1
 %%>>%%  TR.Show=No
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='b'
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='c'
% %%>>%%  TR.Show_Ta=Si
% %%>>%%  TR.Show_Tw=Si
% %%>>%%  TR.Show_Yoo=Si
% %%>>%%  TR.Show_Ymax=No
% %%>>%%  TR.Axes_X=[5]
% %%>>%%  TR.Axes_Y=[0 3.5]
 %%>>%%  device= -depsc
 \caption{Risposta al gradino del sistema $G_{V}^\omega(s)$ e del sistema retroazionato $G_0(s)$.}\label{TR_gs_24_11_2024_a1}
 \end{figure}

 Utilizzando un controllore proporzionale $D(s)=K$ si ottiene un buon transitorio, ma si ottiene un errore a regime $e_p$ troppo elevato:
 \[
 e_p=\frac{R_0}{1+K_p}=\frac{1}{1+6.5647*}= 0.0713 = 7.13 \%.
 \]
 Per ottiene un errore a regime pi\'u piccolo, $e_p=0.01$,  occorre utilizzare un guadagno $K^*$ che soddisfa la seguente  relazione
 \[
 e_p=\frac{R_0}{1+K_p}
 =\frac{R_0}{1+K^*G_{V}^\omega(0)}= 0.01
 \hspace{1cm}
 \rightarrow
 \hspace{1cm}
  K^* =\frac{\frac{R_0}{e_p}-1}{G_{V}^\omega(0)}\simeq 50
 \]
 Se si utilizza un guadagno $K^* = 50$ si ottiene la risposta al gradino mostrata   in magenta in  figura Fig.~\ref{TR_gs_24_11_2024_d_10_a1_bis}.
\begin{figure}[htbp]
  \centering
 \psfrag{y(t)}[b][b][0.7]{$y_{1}(t)$}
 \psfrag{yi}[l][l][0.8]{$y_{\infty}$}
 \psfrag{Ta}[lb][lb][0.7]{$y_{\infty}$}
 \psfrag{Tw}[lb][lb][0.7]{$T_{a}$}
 \includegraphics[width=12.5cm]{TR_gs_24_11_2024_d_10_a1_bis.eps}
 %%>>%%  nome  = gs_24_11_2024_d_10_a1_bis
 %%>>%%  gs= 50*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  gs= (1+0.001274*s)*50*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)/(1+0.0001837*s)
 %%>>%%  hs= 1
 %%>>%%  hs= 1
 %%>>%%  TR.Show=No
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='m'
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='r'
% %%>>%%  TR.Show_Ta=Si
% %%>>%%  TR.Show_Tw=Si
 %%>>%%  TR.Show_Yoo=Si
% %%>>%%  TR.Show_Ymax=No
% %%>>%%  TR.Axes_X=[5]
% %%>>%%  TR.Axes_Y=[0 3.5]
 %%>>%%  device= -depsc
 \caption{Risposta al gradino del sistema retroazionato $G_0(s)$ utilizzando un guadagno $K^* = 50$ .}\label{TR_gs_24_11_2024_d_10_a1_bis}
 \end{figure}
 In questo caso il valore a  regime \'e $y_\infty = 0.99002$. Il diagramma di Nyquist della funzione $K^*\,G_{V}^\omega(s)$ \ee mostrato in magenta in Fig.~\ref{NY_gs_24_11_2024_d3_NY}.
 Utilizzando il guadagno $K^* = 50$ si ottiene il valore a regime desiderato, ma una massima sovraelongazione troppo elevata. Si pu\'o ovviare a questo problema mettendo in cascata al guadagno
 $K^*$ una rete correttrice.

 \subsection{Sintesi di una rete anticipatrice}

 Si progetti una rete anticipatrice in da imporre un margine di fase $M_\varphi=60^\circ$.

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%% BEGIN_24_11_2024_bB_sol
 \und{Soluzione}.  La posizione del punto $B$ \`e
completamente determinata dalla specifica di progetto
$B=M_B\,e^{j\varphi_B}$: $M_B=1$ e
$\varphi_B=240\gradi$. La regione di ammissibilit\ac  \ee mostrata
in grigio in Fig.~\ref{NY_24_11_2024_bB_sol}. Il punto
$A=G_a(j\omega_{A})$ scelto per il progetto \ee quello
corrispondente alla pulsazione $\omega_{A}=1200$:
 \[
  M_{A}=\left| G(j\omega_{A}) \right| =0.5606,
 \hspace{1cm}
 \varphi_{A}=\arg[G(j\omega_{A})] = 195.6\gradi.
 \]
Sostituendo i valori di $M$, $\varphi$ e $\omega$ all'interno delle
formule di inversione si ottengono i valori dei parametri
$\tau_1=0.001274$ e $\tau_2=0.0001837$ della rete correttrice $C_1(s)$:
 \[
  M= \frac{M_{B}}{M_{A}} = 1.784,
 \hspace{4mm}
 \varphi= \varphi_{B}-\varphi_{A}=44.37\gradi
 \hspace{6mm}\rightarrow\hspace{6mm}
  C_1(s)=\frac{(1+0.001274\,s)}{(1+0.0001837\,s)}.
 \]
 Sintesi della rete correttrice $C_{1}(s)$ con altri valori della pulsazione
 $\omega_A$:
I diagrammi di Nyquist delle funzioni  $G_a(s)$  e $C_1(s)G_a(s)$
sono mostrati in Fig.~\ref{NY_24_11_2024_bB_sol}.
 %%%%%%% END_24_11_2024_bB_sol
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \begin{center}
%   \psfrag{diagramma di Nyquust}[c][c]{Sistema $G_{a}(s)$: diagramma di Nichols}
   \includegraphics[width=12cm]{NY_24_11_2024_bB_sol.eps}
 %%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  nome  = 24_11_2024_bB_sol
 %%>>%%  gs=50*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  NY.Show=No
 %%>>%%  cs = 1
 %%>>%%  cs = 1
 %%>>%%  NY.Axes_Re=[-1.4 0.2]
 %%>>%%  NY.Axes_Im=0.2
 %%>>%%  NY.Axes_Re_Tick=[-3:0.2:1]
 %%>>%%  NY.Axes_Im_Tick=[-2:0.2:1]
 %%>>%%  NY.Frecce=[900]
 %%>>%%  NY.Show_W_Ticks=Si
 %%>>%%  NY.W_Ticks=[500 1500]
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='m'
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='--r'
 %%>>%%  NY.Show_Cs=Si
 %%>>%%  NY.Axes_MyGrid=Si
 %%>>%%  NY.Cs_Tipo='Lead'
 %%>>%%  NY.Cs_Fill_Color=0.9
 %%>>%%  NY.Cs_WA=[1200]
% %%>>%%  NY.Cs_Altri_WA=[3.9 4.7 5.6 8.2]
 %%>>%%  NY.Cs_B=[1 240]
 %%>>%%  NY.Cs_Show_A=Si
 %%>>%%  NY.Cs_A_Posizione='lt'
 %%>>%%  NY.Cs_Show_B=Si
 %%>>%%  NY.Cs_B_Posizione='t'
 %%>>%%  NY.Cs_Show_Linea_0B=Si
 %%>>%%  NY.Cs_Show_Freccia_AB=Si
 %%>>%%  NY.Cs_Freccia_AB_Spazio=0.03
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Nr=-1
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Side=1
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Side=0
 %%>>%%  NY.W_Ticks_FontSize=8
 %%>>%%  NY.Axes_Clip=Si;
 %%>>%%  device= -depsc
% %%>>%%  NY.Esegui= semilogx(1,0,''*r'')
 %%>>%%  LT.Inserisci=Si
 %%>>%%  LT.Soluzione=Si
 %%>>%%  LT.Function = 'CALCOLA_RETE_CORRETTRICE_CS'
  %%%%%%%%%%%%%%%%
  \end{center}
\caption{Diagrammi di Nyquisty delle funzioni $K^*G_{V}^\omega(s)$ e
$C_{2}(s)K^*G_{V}^\omega(s)$.}\label{NY_24_11_2024_bB_sol}
\end{figure}
La risposta al gradino del sistema $K^*G_{V}^\omega(s)$ con in cascata la rete correttrice \'e mostrata in rosso in  figura Fig.~\ref{TR_gs_24_11_2024_d_10_a1_bis}.
I poli e il tempo di assestamento del sistema retroazionato senza rete correttrice sono:
\[
p_{1,2}= -166.77 + 901.22i,
 \hspace{2cm}
T_a =\frac{3}{166.77}= 0.0180.
\]
I poli e il tempo di assestamento del sistema retroazionato con rete correttrice sono:
\[
p_{1,2}= -771.6 \pm 697.7,
 \hspace{1cm}
p_{3}= -4195.5,
 \hspace{1cm}
T_a =\frac{3}{4195.5}= 0.000715.
\]


\subsection{Sintesi di un regolatore per avere un errore a regime nullo}

Se si desidera avere un errore a regime nullo allora si deve inserire un'azione integrale nel regolatore.
Sia $G_I(s)$ il sistema di partenza $G_{V}^\omega(s)$ con in cascata un integratore:
\[
G_I(s)
= \frac{G_{V}^\omega(s)}{s}
= \frac{50000}{s( 3\,s^2 + 1001\,s + 25200)}
\]
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%  DIAGRAMMA DI NYQUIST                      %%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  nome  = gs_Int_24_11_2024_d3_NY
 %%>>%%  NY.Show=No
 %%>>%%  gs  = 0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)/s
%%>>%%  gs  = 40*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)/s
% %%>>%%  gs  = 50*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='b'
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='m'
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='c'
 %%>>%%  NY.Show_W_Ticks=Si
 %%>>%%  NY.W_Ticks=[0 1200]
 %%>>%%  NY.Axes_Re=[-1.4 0.2]
% %%>>%%  NY.Axes_Re_Tick=[-12:2:12]
 %%>>%%  NY.Axes_Im=[0.2]
% %%>>%%  NY.Axes_Im_Tick=[-6:2:12]
%% %%>>%%  NY.Plot_nr_punti= 5000
 %%>>%%  NY.Frecce=[35]
% %%>>%%  NY.Show_Circle=No
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Nr=-1
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Side=1
 %%>>%%  NY.Show_Axes=Si
 %%>>%%  NY.Show_Negative=No
 %%>>%%  NY.Sigma_a_Posizione='r'
 %%>>%%  NY.Show_Sigma_a=No
 %%>>%%  NY.Show_Mf=No
 %%>>%%  NY.Show_Ma=No
 %%>>%%  NY.Axes_Clip=Si
 %%>>%%  device= -depsc
% %%>>%%  NY.Esegui= semilogx(1,0,''*r'')
 %%%>>%%  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  LT.Inserisci=Si
 %%>>%%  LT.Function = 'CALCOLA_NYQUIST_GS'
 %%>>%%  LT.Nome_Gs = 'G(s)'
 %%>>%%  LT.Solo_Figura=Si
 %%>>%%  LT.Figura_Zoom=No
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%% BEGIN_gs_Int_24_11_2024_d3_NY
Il diagramma di Nyquist delle funzione $G_I(s)$ \ee mostrato in Fig.~\ref{NY_gs_Int_24_11_2024_d3_NY}.
\begin{figure}[p]
\centering
 \includegraphics[width=12.5cm]{NY_gs_Int_24_11_2024_d3_NY.eps}
 \caption{Diagrammi di Nyquist della funzione $G_I(s)$ e della funzione $K_{Int}\,G_I(s)$.}\label{NY_gs_Int_24_11_2024_d3_NY}
 \end{figure}
 %%%%%%% END_gs_24_11_2024_d3_NY



 L'andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema $G_I(s)$ per $K>0$ \'e
mostrato in Fig.~\ref{LR_gs_bis_24_11_2024_a1}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[p]
  \centering
   \psfrag{Luogo delle radici}[b][b][0.9]{Luogo delle radici per $K>0$}
   \psfrag{sa}[b][b][0.9]{$\sigma_a$}
  \includegraphics[width=12cm]{LR_gs_bis_24_11_2024_a1.eps}
 %%>>%%  nome  = gs_bis_24_11_2024_a1
 %%>>%%  LR.Show=No
 %%>>%%  gs=0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)/s
 %%>>%%  LR.Plot_Densita = 100
 %%>>%%  LR.Get_Frecce=Si
 %%>>%%  LR.Get_Points= 1.0e+02*[   -0.4988 + 2.1866i  -3.7408 + 0.0175i]
 %%>>%%  LR.Axes_Re=[-400 100]
% %%>>%%  LR.Axes_Re_Tick=[-20:2:60]
 %%>>%%  LR.Axes_Im=[-1 1]*300
% %%>>%%  LR.Axes_Im_Tick=[-20:2:20]
 %%>>%%  LR.Show_Axes=Si
 %%>>%%  LR.Show_Asintoti=Si
 %%>>%%  LR.Axes_Clip=Si
 %%>>%%  device= -depsc
% %%>>%%  LR.Esegui= semilogx(1,0,''*r'')
   \caption{Luogo delle radici del sistema $G_I(s)$ al variare di $K>0$}\label{LR_gs_24_11_2024_a1}
\end{figure}
Il luogo delle radici \`e caratterizzato da un solo asintoto che coincide con il semiasse negativo.
La posizione degli asintoti \'e mostrata in figura.
Il centro degli asintoti $\sigma_a$ \'e il seguente:
 \[
 \sigma_a=\frac{1}{3}\left(  -27.4297 -306.2369 \right)= -111.2222.
 \]
Il miglior transitorio nella risposta al gradino si ottiene posizionando i poli sul punto doppio $\sigma_0$. Il valore del punto doppio e il corrispondente tempo di assestamento sono:
\[
\sigma_0= -13.396,
  \hspace{2cm}
 T_a=\frac{3}{13.396}= 0.2239.
\]
 Il corrispondete valore di $K$ si determina utilizzando la seguente formula:
 \[
  K_{Int}=-\left.\frac{1}{G(s)}\right|_{s=-13.396} \simeq 3.3.
 \]
In questo caso non conviene utilizzare solo un'azione  integrale e il guadagno $K_{Int}$ perch\'e il tempo si assestamento che si pu\'o ottenere \'e peggiore di quelli che si sono ottenuti nella sezione precedente.
In questo conviene aumentare il guadagno $K_{Int}$ fino portare  il diagramma di Nyquist della funzione $K_{Int}\,G_I(s)$ in una zona utile per poter poi progettare una adeguata rete anticipatrice.
Se si utilizza un guadagno $K_{Int}=40$ si ottiene il diagramma di Nyquist mostrato in ciano in Fig.~\ref{NY_gs_Int_24_11_2024_d3_NY}. Per la nuova funzione è agevole progettare una rete anticipatrice che imponga al
sistema retroazionato un margine di fase $M_\varphi=60\gradi$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%% BEGIN_Int_24_11_2024_bB_sol
 \und{Soluzione}.  La posizione del punto $B$ \`e
completamente determinata dalla specifica di progetto
$B=M_B\,e^{j\varphi_B}$: $M_B=1$ e
$\varphi_B=240\gradi$. La regione di ammissibilit\ac  \ee mostrata
in grigio in Fig.~\ref{NY_Int_24_11_2024_bB_sol}. Il punto
$A=G_a(j\omega_{A})$ scelto per il progetto \ee quello
corrispondente alla pulsazione $\omega_{A}=68$:
 \[
  M_{A}=\left| G(j\omega_{A}) \right| =0.4262,
 \hspace{1cm}
 \varphi_{A}=\arg[G(j\omega_{A})] = 189.4\gradi.
 \]
Sostituendo i valori di $M$, $\varphi$ e $\omega$ all'interno delle
formule di inversione si ottengono i valori dei parametri
$\tau_1=0.03258$ e $\tau_2=0.003983$ della rete correttrice $C_1(s)$:
 \[
  M= \frac{M_{B}}{M_{A}} = 2.346,
 \hspace{4mm}
 \varphi= \varphi_{B}-\varphi_{A}=50.55\gradi
 \hspace{6mm}\rightarrow\hspace{6mm}
  C_1(s)=\frac{(1+0.03258\,s)}{(1+0.003983\,s)}.
 \]
 Sintesi della rete correttrice $C_{1}(s)$ con altri valori della pulsazione
 $\omega_A$:
I diagrammi di Nyquist delle funzioni  $G_a(s)$  e $C_1(s)G_a(s)$
sono mostrati in Fig.~\ref{NY_Int_24_11_2024_bB_sol}.
 %%%%%%% END_Int_24_11_2024_bB_sol
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \begin{center}
%   \psfrag{diagramma di Nyquust}[c][c]{Sistema $G_{a}(s)$: diagramma di Nichols}
   \includegraphics[width=12cm]{NY_Int_24_11_2024_bB_sol.eps}
 %%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  nome  = Int_24_11_2024_bB_sol
 %%>>%%  gs=40*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)/s
 %%>>%%  NY.Show=No
 %%>>%%  cs = 1
 %%>>%%  cs = 1
 %%>>%%  NY.Axes_Re=[-1.4 0.2]
 %%>>%%  NY.Axes_Im=0.2
 %%>>%%  NY.Axes_Re_Tick=[-3:0.2:1]
 %%>>%%  NY.Axes_Im_Tick=[-2:0.2:1]
 %%>>%%  NY.Frecce=[900]
 %%>>%%  NY.Show_W_Ticks=Si
 %%>>%%  NY.W_Ticks=[20 150]
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='m'
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='--r'
 %%>>%%  NY.Show_Cs=Si
 %%>>%%  NY.Axes_MyGrid=Si
 %%>>%%  NY.Cs_Tipo='Lead'
 %%>>%%  NY.Cs_Fill_Color=0.9
 %%>>%%  NY.Cs_WA=[68]
% %%>>%%  NY.Cs_Altri_WA=[3.9 4.7 5.6 8.2]
 %%>>%%  NY.Cs_B=[1 240]
 %%>>%%  NY.Cs_Show_A=Si
 %%>>%%  NY.Cs_A_Posizione='lt'
 %%>>%%  NY.Cs_Show_B=Si
 %%>>%%  NY.Cs_B_Posizione='t'
 %%>>%%  NY.Cs_Show_Linea_0B=Si
 %%>>%%  NY.Cs_Show_Freccia_AB=Si
 %%>>%%  NY.Cs_Freccia_AB_Spazio=0.03
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Nr=-1
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Side=1
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Side=0
 %%>>%%  NY.W_Ticks_FontSize=8
 %%>>%%  NY.Axes_Clip=Si;
 %%>>%%  device= -depsc
% %%>>%%  NY.Esegui= semilogx(1,0,''*r'')
 %%>>%%  LT.Inserisci=Si
 %%>>%%  LT.Soluzione=Si
 %%>>%%  LT.Function = 'CALCOLA_RETE_CORRETTRICE_CS'
  %%%%%%%%%%%%%%%%
  \end{center}
\caption{Diagrammi di Nyquisty delle funzioni $K_{Int}\,G_I(s)$  e $C_1(s)K_{Int}\,G_I(s)$.}\label{NY_Int_24_11_2024_bB_sol}
\end{figure}

La risposta al gradino unitario dei sistemi $G_I(s)$ (blu), $K_{Int}\,G_I(s)$ (magenta)  e $C_1(s)K_{Int}\,G_I(s)$ (rosso) sono mostrati mostrata   in magenta in  figura Fig.~\ref{TR_gs_Int_24_11_2024_d_10_a1_bis}.
\begin{figure}[htbp]
  \centering
 \psfrag{y(t)}[b][b][0.7]{$y_{1}(t)$}
 \psfrag{yi}[l][l][0.8]{$y_{\infty}$}
 \psfrag{Ta}[lb][lb][0.7]{$y_{\infty}$}
 \psfrag{Tw}[lb][lb][0.7]{$T_{a}$}
 \includegraphics[width=12.5cm]{TR_gs_Int_24_11_2024_d_10_a1_bis.eps}
 %%>>%%  nome  = gs_Int_24_11_2024_d_10_a1_bis
 %%>>%%  gs= 0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)/s
 %%>>%%  gs= 50*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)/s
 %%>>%%  gs= 50*0.5/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)/s*(1+0.03258*s)/(1+0.003983*s)
 %%>>%%  hs= 1
 %%>>%%  hs= 1
 %%>>%%  hs= 1
 %%>>%%  TR.Show=No
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='b'
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='m'
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='r'
% %%>>%%  TR.Show_Ta=Si
% %%>>%%  TR.Show_Tw=Si
 %%>>%%  TR.Show_Yoo=Si
% %%>>%%  TR.Show_Ymax=No
 %%>>%%  TR.Axes_X=[0.6]
% %%>>%%  TR.Axes_Y=[0 3.5]
 %%>>%%  device= -depsc
 \caption{risposta al gradino unitario dei sistemi $G_I(s)$ (blu), $K_{Int}\,G_I(s)$ (magenta)  e $C_1(s)K_{Int}\,G_I(s)$ (rosso).}\label{TR_gs_Int_24_11_2024_d_10_a1_bis}
 \end{figure}
I poli e il tempo di assestamento del sistema retroazionato con rete correttrice sono:
\[
p_{1,2}= -76.91 \pm 83.77 j,
 \hspace{1cm}
p_{3}= -398.28,
 \hspace{1cm}
p_{4}= -32.49,
 \hspace{1cm}
T_a =\frac{3}{32.49}=0.0923.
\]
 Il tempo di assestamento che si \'e ottenuto ($T_a =0.0923$) \'e comunque notevolmente superiore a quello ottenuto in precedenza ($T_a = 0.000715.$) senza azione integrale e utilizzando un guadagno $K^*=50$.
\clearpage


\subsection{Controllo in cascata di un motore elettrico in corrente continua}

Se si ha a disposizione anche la misura della corrente $I_1$ di ingresso al motore, \'e possibile fare un controllo ``in cascata'' del motore. Questo tipo di controllo, vedi Fig.~\ref{Schema_in_Cascata}, prevede un primo controllo di corrente interno
e poi un controllo di velocit\'a pi\'u esterno.
 \begin{figure}[htbp]
  \centering
 \includegraphics[width=14.5cm]{Schema_in_Cascata.eps}
 \caption{Controllo in cascata di un motore elettrico.}\label{Schema_in_Cascata}
 \end{figure}

 \subsubsection{Controllo in corrente}
 Il controllo in corrente agisce su di un sistema a grado relativo $r=1$, per cui il controllore pu\'o essere realizzato 
 semplicemente utilizzando un controllo proporzionale molto elevato, eventualmente saturato se la tensione  a disposizione \'e limitata.
 Nel,sistema in esame, la funzione di trasferimento che lega la tensione $V_1$ alla corrente $I_1$ \'e la seguente:
 \[
  G_{V_1}^{I_1}(s) = \frac{0.01\,s+0.002}{0.00003\,s^2+0.01001\,s+0.252}
 \]
 Il sistema $G_{V_1}^{I_1}(s)$ ha un guadagno statico $G_0=0.0079$. L'errore a regime $e_p$ per ingresso a gradino sar\'a $e_p=0.01$ se si utilizza
 il seguente guadagno:
 \[
 K_{I_1}
 =\frac{\frac{R_0}{e_p}-1}{G_0}
 =\frac{99}{0.0079}
 = 12532.
 \]    
Utilizzando un guadagno $K_{I_1}=12532$ si ottiene il seguente sistema retroazionato
\[
  G0_{V_1}^{I_1}(s) = \frac{K_{I_1}\,G_{V_1}^{I_1}(s)}{1+K_{I_1}\,G_{V_1}^{I_1}(s)}
\] 
che ha il suo polo dominante in $p_1= -4177333$ a cui corrisponde un tempo di assestamento $T_a=\frac{3}{p_1}=7.18\,10^{-7}$.
La risposta al gradino unitario del sistema $G0_{V_1}^{I_1}(s)$ \'e  mostrata in  figura Fig.~\ref{TR_gs_LR_24_11_2024_d_10_a1_bis}.
\begin{figure}[htbp]
  \centering
 \psfrag{y(t)}[b][b][0.7]{$y_{1}(t)$}
 \psfrag{yi}[l][l][0.8]{$y_{\infty}$}
 \psfrag{Ta}[lb][lb][0.7]{$y_{\infty}$}
 \psfrag{Tw}[lb][lb][0.7]{$T_{a}$}
 \includegraphics[width=12.5cm]{TR_gs_LR_24_11_2024_d_10_a1_bis.eps}
 %%>>%%  nome  = gs_LR_24_11_2024_d_10_a1_bis
 %%>>%%  gs= 12532*(0.01*s+0.002)/(3.0e-5*s^2 + 0.01001*s + 0.252)
 %%>>%%  hs= 1
 %%>>%%  TR.Show=No
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='b'
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='m'
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='r'
% %%>>%%  TR.Show_Ta=Si
% %%>>%%  TR.Show_Tw=Si
 %%>>%%  TR.Show_Yoo=Si
% %%>>%%  TR.Show_Ymax=No
% %%>>%%  TR.Axes_X=[0.6]
% %%>>%%  TR.Axes_Y=[0 3.5]
 %%>>%%  device= -depsc
 \caption{risposta al gradino unitario dei sistemi $G_I(s)$ (blu), $K_{Int}\,G_I(s)$ (magenta)  e $C_1(s)K_{Int}\,G_I(s)$ (rosso).}\label{TR_gs_LR_24_11_2024_d_10_a1_bis}
 \end{figure}


 \subsubsection{Controllo di velocit\'a}

Dopo aver messo a punto il controllo di velocit\'a si deve calcolare la nuova funzione di trasferimento che lega il riferimento di corrente $I_{ref}$ alla velocit\'a angolare $\omega_m$ del motore.
Tale funzione si determina applicando il nuovo controllo
\[
 V_1=K_I(I_{ref}-I_1)
\]  
al sistema di partenza, oppure applicando la formula di Mason al sistema complessivo dopo aver inserito il controllo di corrente. 
Procedendo in questo modo si ottiene la nuova funzione di trasferimento 
\[
G_{I_{ref}}^{w_m}(s) =\frac{2.089e08}{s^2 + 4.178e06 s + 8.439e05}
\]
caratterizzata da un guadagno statico $G_0=247.51$, da un grado relativo $r=2$ e dai seguenti due poli:
\[
p_1= -4.1777e^6,
\hspace{1cm}
p_2= -0.2020. 
\]
Il polo $p_1$ è il polo elettrico che si \'e diventato molto veloce per l'azione del controllo di corrente. Il polo $p_2$ descrive sostanzialmente il polo meccanico. 
Il nuovo sistema da controllare \'e quindi sostanzialmente un sistema del primo ordine per cui il controllo di velocit\'a potr\'a essere fatto con un semplice controllore 
proporzionale $K_{w_m}$ che imponga un errore a regime $e_p=0.001$ sufficientemente basso:  
 \[
 K_{w_m}
 =\frac{\frac{R_0}{e_p}-1}{G_0}
 =\frac{999}{247.51}
 \simeq 4.
 \]
Utilizzando questo guadagno, si ottiene il seguente sistema retroazionato
\[
  G_{w_{ref}}^{w_m}(s) = \frac{K_{w_m}\,G_{I_{ref}}^{w_m}(s)}{1+K_{w_m}\,G_{I_{ref}}^{w_m}(s)}
   = \frac{8.43e08}{s^2 + 4.178e06 s + 8.439e08}
\]
che ha un guadagno statico $G_0=0.999$ e i seguenti due poli:
\[
p_1= -4.1777e06,
\hspace{1cm}
p_2\simeq -202.
\]
Al polo dominante $p_2$ corrisponde un tempo di assestamento $T_a=\frac{3}{p_2}=0.0149$.
La risposta al gradino unitario del sistema retroazionato $G_{w_{ref}}^{w_m}(s)$ \'e  mostrata in  figura Fig.~\ref{TR_gs_LR2_24_11_2024_d_10_a1_bis}.
\begin{figure}[htbp]
  \centering
 \psfrag{y(t)}[b][b][0.7]{$y_{1}(t)$}
 \psfrag{yi}[l][l][0.8]{$y_{\infty}$}
 \psfrag{Ta}[lb][lb][0.7]{$y_{\infty}$}
 \psfrag{Tw}[lb][lb][0.7]{$T_{a}$}
 \includegraphics[width=12.5cm]{TR_gs_LR2_24_11_2024_d_10_a1_bis.eps}
 %%>>%%  nome  = gs_LR2_24_11_2024_d_10_a1_bis
 %%>>%%  gs= 4*(2.089e08)/(s^2 + 4.178e06*s + 8.439e05)
 %%>>%%  hs= 1
 %%>>%%  TR.Show=No
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='b'
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='m'
 %%>>%%  TR.Plot_LineStyle='r'
% %%>>%%  TR.Show_Ta=Si
% %%>>%%  TR.Show_Tw=Si
 %%>>%%  TR.Show_Yoo=Si
% %%>>%%  TR.Show_Ymax=No
% %%>>%%  TR.Axes_X=[0.6]
% %%>>%%  TR.Axes_Y=[0 3.5]
 %%>>%%  device= -depsc
 \caption{Risposta al gradino unitario del sistema retroazionato $G_{w_{ref}}^{w_m}(s)$.}\label{TR_gs_LR2_24_11_2024_d_10_a1_bis}
 \end{figure}


 \subsubsection{Controllo di posizione}

 La funzione di trasferimento che si deve considerare se si vuole fare anche il controllo di posizione \'e la segunete:
 \[   
 G_{w_{ref}}^{Th_m}(s) = \frac{G_{w_{ref}}^{w_m}(s)}{s}
    = \frac{8.43e08}{s(s^2 + 4.178e06 s + 8.439e08)}
 \]
 Il controllore da utilizzare per questo sistema non deve avere l'azione integrale perch\'e il sistema \'e gi\'a di tipo 1.
 In questo caso baster\'a  utilizzare un controllore proporzionale con in cascata, eventualmente,  una rete anticipatrice.   
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%  DIAGRAMMA DI NYQUIST                      %%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  nome  = gs_Pos_24_11_2024_d3_NY
 %%>>%%  NY.Show=Si
 %%>>%%  gs  = 100*8.43e08/s/(s^2 + 4.178e06*s + 8.439e08)
 %%>>%%  gs  = 2000*8.43e08/s/(s^2 + 4.178e06*s + 8.439e08)
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='b'
 %%>>%%  NY.Plot_LineStyle='c'
 %%>>%%  NY.Show_W_Ticks=Si
 %%>>%%  NY.W_Ticks=[0 1200]
 %%>>%%  NY.Axes_Re=[-1.4 0.2]
% %%>>%%  NY.Axes_Re_Tick=[-12:2:12]
 %%>>%%  NY.Axes_Im=[0.2]
% %%>>%%  NY.Axes_Im_Tick=[-6:2:12]
%% %%>>%%  NY.Plot_nr_punti= 5000
 %%>>%%  NY.Frecce=[35]
% %%>>%%  NY.Show_Circle=No
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Nr=-1
 %%>>%%  NY.W_Ticks_Side=1
 %%>>%%  NY.Show_Axes=Si
 %%>>%%  NY.Show_Negative=No
 %%>>%%  NY.Sigma_a_Posizione='r'
 %%>>%%  NY.Show_Sigma_a=No
 %%>>%%  NY.Show_Mf=No
 %%>>%%  NY.Show_Ma=No
 %%>>%%  NY.Axes_Clip=Si
 %%>>%%  device= -depsc
% %%>>%%  NY.Esegui= semilogx(1,0,''*r'')
 %%%>>%%  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%>>%%  LT.Inserisci=Si
 %%>>%%  LT.Function = 'CALCOLA_NYQUIST_GS'
 %%>>%%  LT.Nome_Gs = 'G(s)'
 %%>>%%  LT.Solo_Figura=Si
 %%>>%%  LT.Figura_Zoom=No
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%% BEGIN_gs_Pos_24_11_2024_d3_NY
Il diagramma di Nyquist delle funzione $100\,G_{w_{ref}}^{Th_m}(s)$ (in blu) e della funzione $2000\,G_{w_{ref}}^{Th_m}(s)$ (in ciano) \ee mostrato in Fig.~\ref{NY_gs_Pos_24_11_2024_d3_NY}.
\begin{figure}[p]
\centering
 \includegraphics[width=12.5cm]{NY_gs_Pos_24_11_2024_d3_NY.eps}
 \caption{Diagrammi di Nyquist delle funzioni $100\,G_{w_{ref}}^{Th_m}(s)$ e della funzione $2000\,G_{w_{ref}}^{Th_m}(s)$.}\label{NY_gs_Pos_24_11_2024_d3_NY}
 \end{figure}
 %%%%%%% END_gs_24_11_2024_d3_NY
 Quindi, se si usa un controllo proporzionale $K_{Th_m}=100$, il margine di fase del sistema retroazoinato sar\'a sufficientemente ampio, vedi digramma blu in Fig.~\ref{NY_gs_Pos_24_11_2024_d3_NY}. 
 Se invece si utilizza un controllo proporzionale $K_{Th_m}=2000$, occorrer\'a mettere una rete anticipatrice in cascata al sistema. 



\end{document}


