L'argomento ABS è al centro di varie discussioni in corso su altri gruppi, in posta elettronica, su ICQ e di persona. Cerco di buttar giú due righe che riassumano quanto si legge su articoli disponibili in Rete e presso la biblioteca del Politecnico di Milano, e ciò che ricordo di alcuni corsi universitari a suo tempo seguiti (quand'ero giovine :-O ). Ometterò la piú parte della trattazione matematica per non appesantire il discorso. L'articolo è diviso in quattro parti tematiche.
La tecnologia impiegata in questi sistemi è spesso protetta da segreto industriale, quindi non si trovano informazioni dettagliate.
Vediamo un po'...
 

Introduzione

Il problema

A intuito, i parametri utili istante per istante potrebbero essere:

1)  tipo di fondo
2)  tipo di pneumatici e loro stato di usura, pressione
3)  velocità vettoriale di vari punti del veicolo
4)  accelerazione vettoriale di vari punti del veicolo
5)  velocità angolare di ogni ruota
6)  distribuzione del peso sulle ruote
7)  angolo di sterzo (cioè posizione del volante)
8)  posizione del pedale del freno, acceleratore, frizione
9)  posizione del freno a mano
10) rapporto innestato

Ciò perché:

  a) i punti 1,2 permetterebbero di calcolare il coefficiente di attrito istantaneo di ogni ruota, contemplando anche la deformazione del pneumatico (esistono modelli matematici, come visto nel mio precedente articolo, ma si può ricorrere anche a tabelle d'interpolazione determinate sperimentalmente)
  b) i punti 3,4 permetterebbero di conoscere il moto del veicolo; osserviamo che NON è sufficiente conoscere velocità e accelerazione di un solo punto, in quanto queste due informazioni non basterebbero per descrivere il moto completo di un oggetto (potrebbe esserci rotazione: sbandata o imbardata); la Meccanica Razionale fornisce la teoria necessaria
  c) i punti da 7 a 10 permetterebbero di avere un'idea di ciò che sta facendo il guidatore, da cui dedurre il probabile stato del veicolo subito prima dell'inizio dell'intervento del sistema (stava frenando, stava accelerando, stava percorrendo una curva, stava facendo il pirla con il freno a mano, ecc.)
  d) i punti da 8 a 10 permetterebbero di evitare l'aumento della coppia frenante sulle ruote motrici, non dovuta ai freni bensí all'azione frenante del motore, e aiutare a scongiurare possibili blocchi al ponte (tipici delle trazioni posteriori)
  e) i punti 5,6 permetterebbero di conoscere il comportamento delle singole ruote che, ricordiamolo, durante la frenata possono trovarsi via via in molteplici condizioni di aderenza anche assai diverse l'una dall'altra, e possono al limite giungere ad aderenza nulla nel caso si sollevassero da terra (tipico di certe auto nelle curve strette: si solleva ad es. la posteriore interna)

Gli elementi su cui il sistema può intervenire sono:

1) freni delle singole ruote
2) sterzo
3) acceleratore
4) sospensioni

Di solito i punti 2,3,4 non vengono considerati (in particolare il 2), tranne su vetture munite di sistemi di controllo molto sofisticati che integrino all'ABS i controlli di trazione (tipo l'ESP).

Grazie ai modelli matematico/empirici studiati e formulati negli ultimi anni, è possibile calcolare la corretta velocità di rotazione della ruota per ottenere la massima frenata al variare del carico e del coefficiente di attrito; sappiamo che tale velocità angolare è pari a circa l'80% di quella che la ruota avrebbe in condizioni libere.
Come vedremo nel prosieguo, insorgono alcune complicazioni di carattere sia teorico sia - purtroppo - economico che impediscono di realizzare un sistema che abbia in ingresso le informazioni dei punti 1÷10, in particolare 1,2,3,4 non sono (per ora) mai presenti o lo sono in forma solo parziale. Diviene necessario ricavare le informazioni mancanti basandosi su altre, elaborate grazie a teorie matematiche e a compromessi.
 

Qualche caso pratico

  1) veicolo in moto rettilineo, inizia una violenta frenata a ruote dritte su fondo stradale omogeneo durante la quale non si scomporrà e non metterà le ruote su fondo diverso.
- Il sistema deve portare la velocità angolare di ogni ruota a circa l'80% di quella che avrebbe in condizioni libere, ovvero l'80% di quella a cui - istante per istante - corrisponde una velocità tangenziale pari a quella del veicolo. Ciò perché al fattore di "slip" (slittamento) 0.2 corrisponde la frenata piú efficace nel caso di pneumatici normali. Il sistema conosce con precisione la velocità angolare di ogni ruota prima dell'inizio della frenata, e può tenere conto delle piccole differenze tra l'una e l'altra dovute alle diverse circonferenze di rotolamento causate da diversa usura dei pneumatici (tipico tra quelli anteriori e posteriori).

  2) come il caso 1), ma durante la frenata alcune ruote del veicolo vengono a trovarsi su fondo diverso (es. quelle sinistre su asfalto mentre quelle destre su erba o ghiaia, caso tipico di frenata in prossimità del ciglio stradale).
- S'inizia come al punto 1), però la coppia frenante applicata alle ruote di destra dovrà essere molto diversa rispetto a quella applicata a sinistra, perché le une si trovano su fondo piú scivoloso rispetto alle altre. Con ogni probabilità lo stato dei fondi stradali non sarà noto al sistema, perché purtroppo i sensori in grado di discriminare tali diversità sono complessi, delicati, costosi, e quindi non vengono impiegati; il sistema dovrà arrangiarsi in altro modo per capirlo, ad esempio rilevando un inizio d'imbardata della vettura: è noto a tutti che la frenata diversificata destra/sinistra comporta rotazione del veicolo su sè stesso (è il princípio su cui si basano i mezzi cingolati per svoltare).
A questo punto il sistema si trova di fronte ad una scelta filosofica difficile: cosa fare per mantenere massima la frenata e, al contempo, evitare che l'auto sbandi? Se mantenesse massima la frenata sia delle ruote su asfalto sia di quelle sull'erba (compatibilmente con le rispettive aderenze, ovvio), ci sarebbe differenza di frenata destra/sinistra e l'auto sbanderebbe. Nell'ipotesi in cui il sistema possa agire solo sui freni, le soluzioni si riducono a due:
 a) diminuire la frenata delle ruote su asfalto (che hanno piú grip di quelle sull'erba) sino a renderla uguale a quelle su erba;
 b) mantenere massima la frenata e demandare al guidatore la correzione dell'inevitabile imbardata (controsterzo).
Il punto b), purtroppo, verrà scartato dai progettisti di ABS perché il sistema (come la maggior parte delle cose moderne) dev'essere "a prova d'imbecille" e quindi non può assumere che il guidatore sia in grado di compiere la manovra di controsterzo. Il punto a) garantisce stabilità ma allunga lo spazio di frenata di parecchio; tuttavia con ogni probabilità sarà il prescelto.
Questo esempio illustra bene i motivi per cui l'ABS è controproducente su vetture destinate all'uso sportivo guidate da piloti esperti: un buon pilota può gestire con facilità l'imbardata lavorando con lo sterzo, mentre mantiene massima la frenata su asfalto!

  3) il veicolo sta percorrendo una curva, inizia una violenta frenata a ruote sterzate su fondo stradale omogeneo durante la quale non si scomporrà e non metterà le ruote su fondo diverso.
- Il caso si fa complesso: il moto del veicolo non è rettilineo, esiste accelerazione centripeta, però non indica sbandata bensí percorrenza di curva. Il sistema ne prende atto dalla posizione del volante prima dell'inizio della frenata e modula la coppia frenante di ogni singola ruota nel tentativo di mantenere massima la frenata purché questo non alteri l'equilibrio della traiettoria, a meno che non venga rilevato movimento dello sterzo (in tal caso potrebbe riconoscere la volontà del guidatore di aumentare o diminuire la sterzata per scansare un ostacolo, e potrebbe cercare di aiutarlo favorendo la rotazione del veicolo con opportuna diminuzione della coppia frenante su una o piú ruote - non aumento perché le ruote sono già frenate al massimo valore ammissibile e quindi l'unica alternativa è sfrenare un poco una o piú ruote, sacrificando lo spazio di arresto a favore della direzionalità).

Da questi semplici esempi si evince che l'ABS in certi casi può risultare controproducente, ma soprattutto che possono esistere diverse logiche con cui affrontare il medesimo caso, ciascuna in grado di favorire qualcosa a scapito di qualcos'altro. Alcuni progettisti potrebbero inserire diversi programmi selezionabili dall'esterno con un commutatore (comportamento sportivo, normale, a prova d'imbecille, ecc.); oppure decidere di equipaggiare berline con sistemi rivolti alla massima prudenza, e sportive con impianti la cui soglia d'intervento sia collocata piú in là e l'azione appaia meno invasiva, lasciando modo al guidatore di gestire meglio l'inserimento in curva o il sovrasterzo di potenza.
 

Strumenti impiegati

Attuatori

Sensori

Alcuni di questi sensori, esistenti e usati in molte applicazioni industriali, non vengono tuttavia impiegati a causa dei costi o della delicatezza. I piú notevoli sono forse i sensori ottici che permetterebbero, se accoppiati a opportuni programmi, di determinare almeno in prima approssimazione il fondo stradale e la velocità del veicolo (simili a quelli che equipaggiano alcuni mouse, per intenderci).
In particolare, la velocità vettoriale istantanea del veicolo è un parametro essenziale per la logica del sistema ABS e deve esser conosciuta. Difatti, è impossibile correggere la coppia frenante applicate alle singole ruote se non si ha ben chiaro il moto del veicolo istante per istante, ovvero se non si conosce la sua velocità vettoriale. Non potendola desumere da sensori (non installati), si deve ricavare in altro modo. Il piú utilizzato ricorre ad algoritmi matematici basati sulla "fuzzy logic", che vedremo in dettaglio piú sotto.
 

La ripartizione fronte/retro

Algoritmi e logica operativa

La matematica svolge ruolo essenziale negli ABS moderni. Molti algoritmi vengono sviluppati con lunghe simulazioni numeriche, basate su dati acquisiti dalla teoria del comportamento dinamico dei veicoli e altri rilevati sperimentalmente grazie a vetture laboratorio dotate di numerosi sensori e lanciate nei piú disparati casi di frenata, su piazzali o strade destinate a queste prove nei centri di ricerca.
 
 

La logica non lineare basata su sistemi differenziali

In condizioni normali si ha Omega * R = V e quindi S = 0: la ruota copia il terreno senza slittamento significativo (si trascurano slittamenti e deformazioni del battistrada dovute all'impronta a terra). A ruota bloccata si ha invece omega = 0 e quindi S = V/V = 1.
Il parametro di slittamento S può variare quindi tra 0 e 1; la frenata massima corrisponde a S = 0.2; al variare di S varia anche la capacità direzionale del veicolo. Come sappiamo dalla pratica e dalla teoria, la ruota bloccata (S = 1) comporta aumento dello spazio d'arresto e completa perdita di direzionalità.
Obiettivo di un buon sistema ABS è la continua correzione della coppia frenante applicata a ciascuna ruota affinché sia mantenuta la massima forza di attrito pneumatico/strada compatibilmente con la conservazione della direzionalità. Il coeff. d'attrito µ fra pneumatico e fondo stradale è una funzione non lineare di S, µ=µ(S), quindi un ottimo sistema ABS dovrebbe mantenere la velocità angolare di ogni ruota tale per cui sia massimo µ; tuttavia nella pratica si approssima spesso la funzione µ(S) con la costante µ=µ(0.2) e si assume che a S=0.2 corrisponda la massima frenata.
Tutto questo nell'ipotesi che non si voglia modificare l'accelerazione laterale del veicolo, ovvero non si voglia intervenire sul suo equilibrio per favorire qualche manovra particolare (funzionalità piú caratteristica dei sistemi per il controllo della trazione che degli ABS).

Vediamo uno schema applicativo orientato ai veicoli pesanti, il cui impianto frenante è attuato con aria compressa (pneumatico):
  1) l'impianto pneumatico è controllato da un gruppo di valvole discrete (ciascuna può essere o aperta o chiusa, mai parzializzata); ha risposta piú lenta rispetto ai parenti idraulici montati sulle autovetture, ed è piú difficile da controllare. La pressione può essere mantenuta costante oppure aumentata o diminuita azionando una o piú valvole; se l'azione viene eseguita con tecnica pulsante modulata (PWM = Pulse With Modulation) si riesce a mappare abbastanza bene l'azione discreta delle valvole in un intervallo continuo che, per semplicità, possiamo assumere da -1 a +1 dove a -1 corrisponde massimo sfogo d'aria, a +1 massimo aumento di pressione, a 0 pressione costante.
  2) la misura della pressione d'aria istantanea nel circuito frenante potrebbe non essere disponibile: questo complica le cose
  3) la misura della velocità istantanea e dell'accelerazione istantanea non è disponibile, per i motivi visti prima; il sistema deve ricavare questi dati essenziali in base a ragionamenti logici che vedremo piú avanti
  4) la complessa dinamica del gruppo motrice/rimorchio ed il vasto campo d'impiego dei mezzi pesanti complica ancor piú il problema e rende difficile il test del sistema e la sua regolazione.

- Alcuni algoritmi della logica degli ABS scelgono l'approccio "bang-bang" per generare il segnale di controllo, che si basa su due o piú capisaldi (valori fissati come riferimento) della decelerazione angolare dOmega/dt e dello slittamento S. Quando il valore letto supera il caposaldo piú vicino, si agisce sul sistema di controllo e si varia cosí la pressione nell'impianto. La logica di questo algoritmo è quindi a "dente di sega" nella curva di attuazione del coefficiente µ (chiamata curva µ-slip) in quanto costringe µ all'interno di un range predeterminato.

- Altri sistemi si basano sui metodi matematici agli elementi finiti, assai usati in campo industriale. Si basano sulla misura di segnali presenti solo nei sistemi piú evoluti: oltre alla velocità angolare delle ruote leggono anche l'accelerazione vettoriale del veicolo e la pressione dell'impianto, inoltre adottano logiche diverse a seconda della tipologia d'impiego del veicolo e dello stile di guida.

La bontà implementativa di questi due metodi dipende molto dall'abilità dei progettisti e dalla disponibilità di prove di laboratorio; è molto difficile studiare il comportamento del sistema a tavolino: servono prove su strada mirate, condotte da personale esperto e analizzate dagli stessi progettisti. Nel caso specifico di ABS per mezzi pesanti, si tende a formulare la logica di controllo in anello chiuso.

- Il metodo oggi piú avanzato è fondato sulla "fuzzy logic" e lo discuteremo piú in dettaglio in seguito. Si basa sull'impiego di tecniche d'intelligenza artificiale e reti neurali.

L'idea della NPID
Vediamo un esempio teorico di logica di controllo, basata su quanto detto sin qui.
I controller PID sono semplici e facili da implementare, vengono impiegati nell'industria per risolvere numerosi problemi di controllo. Proponiamo qui un breve studio di controller PID non lineare (NPID) derivato da essi. Il modello matematico di un PID è piuttosto semplice e può essere scritto come:

il punto soprascritto indica, al solito, la derivata rispetto al tempo.
Il modello NPID è un'evoluzione non lineare del precedente, e si può scrivere come:

Vediamo un esempio di simulazione
Scopo di questa simulazione è confrontare la prestazioni di tre controller: PID, anello (loop-shaping), NPID. Affronteremo sei diverse situazioni operative, che vogliono rappresentare casi tipici di frenata d'emergenza su automezzi pesanti con impianto pneumatico: frenata normale, su fondo scivoloso, con pressione alta e bassa nel circuito freni, con dinamica lenta e veloce. Le prove sono state condotte con simulatori industriali, cercando di riprodurre con il maggior realismo possibile le condizioni vere.
Il grafico qui sotto evidenzia l'andamento della funzione non lineare rispetto a quella lineare

Vediamo le caratteristiche matematiche dei tre controller:

 PID

Kp4 (4 assi) = -0.03
Kp5 (5 assi) = -0.05
Ti4 = Ti5 = 0.3
Td4 = Td5 = 0.01
 

 Anello (loop-shaping)

è basato sulla funzione lineare

 NPID

anche questo controller può essere applicato a 4 o 5 assi.

I sei diversi casi riflettono le diverse condizioni dei fondo stradale, della pressione d'aria nell'impianto frenante, della dinamica dei cilindri che azionano i freni. Queste sei situazioni possiamo definirle come:
S1: normale (P = 90 psi, µ = 0.7, caratteristiche impianto nominali)
S2: fondo stradale scivoloso (µ = 0.4)
S3: alta pressione nell'impianto (P = 120 psi)
S4: bassa pressione nell'impianto (P = 60 psi)
S5: dinamica frenante rapida (piccola costante di tempo e piccolo rapporto di sfogo)
S6: dinamica frenante rapida (grande costante di tempo e grande rapporto di sfogo)

Il tempo di simulazione è di 20 secondi nel caso S2, 15 secondi negli altri; gli step sono di 2.5 ms; il campionamento dei sensori del pistone freni e della ruota avviene ogni 15 ms.

Il programma simulatore usato è TruckSim, sviluppato dalla Mechanical Simulation Corporation per lo studio realistico in campo industriale della dinamica dei veicoli pesanti, in particolare è specializzato nella simulazione dei dispostivi frenanti di camion, autobus, trattori, motrici e rimorchi. Riproduce e gestisce diverse condizioni, sostituendo all'automezzo un modello matematico che lo emula. Risolve le equazioni dinamiche del moto e simula il comportamento del veicolo al variare delle condizioni di frenata e sterzata. I modelli rappresentativi dei pneumatici (cruciali nella simulazione) e delle sospensioni sono molto raffinati, basati su sistemi non lineari: contemplano le geometrie più diffuse per le sospensioni di veicoli pesanti con assale rigido e sistema sterzante asimmetrico.
Il controllo in ingresso è dato dalla matrice degli angoli di sterzo e di freno nell'intervallo di tempo campione (controllo ad anello aperto), oppure valori continui di sterzo e velocità (anello chiuso).
L'unicità e complessità del problema dell'ABS rende difficile creare una simulazione completa e veritiera, tuttavia i risultati sono molto interessanti.
L'obiettivo è simulare la frenata in modo che lo spazio d'arresto sia il piú piccolo compatibile con la stabilità laterale. Lo spazio d'arresto si ottiene dalla simulazione e può essere via via confrontato impiegando cicli simulativi, sin quando si determina per esaustione il valore minimo. Questo, tuttavia, non dev'essere l'unico parametro importante negli ABS moderni, anzi. Ad esempio, su fondi a buona aderenza (µ elevato) la frenata a ruote quasi bloccate (5%) comporta spazi d'arresto ridotti ma scarsa o nulla stabilità laterale e violento stress dei pneumatici.
Purtroppo TruckSim non è in grado di simulare l'eventuale moto laterale del veicolo in caso di frenata rettilinea; in questo caso dovremo accontentarci dello spazio d'arresto e dell'errore del second'ordine della velocità angolare delle ruote, utile per raffronti.

Analisi dei risultati della simulazione.
Osserviamo due parametri per valutare la simulazione dei nostri tre controller: lo spazio d'arresto e l'errore del second'ordine della velocità di rotazione delle ruote.
Lo spazio d'arresto è definito come:

Una simulazione di 15 o 20 secondi è discretizzata su 6000 o 8000 passi (step). Si calcolano due errori alla seconda norma (NM4 e NM5 per 4 e 5 assi), si assume come risultato NM la media dei due. L'errore medio NM rispecchia la prestazione media del controllo di velocità di rotazione delle ruote: piú basso è, migliore è stato il controllo.
Vediamo i raffronti tra spazio d'arresto ed errore, nei sei casi:

Spazio d'arresto

caso	PID	loop	NPID
S1	86.3	61.3	65.9
S2	154.1	139.9	114.6
S3	91.6	63.4	66.4
S4	83.3	62.5	66.7
S5	78.5	80.4	64.3
S6	94.7	67.6	70.8

Seconda norma dell'errore

caso	PID	loop	NPID
S1	740.7	216.1	286.1
S2	945.1	694.2	603.2
S3	770.4	360.2	394.5
S4	631.7	241.8	256.8
S5	594.6	492.7	229.3
S6	818.6	518.2	377.0

Dall'analisi di queste tabelle salta subito all'occhio il bloccaggio delle ruote negli istanti iniziali del PID controller, a cui seguono spazi d'arresto maggiori rispetto agli altri controller in tutti i sei casi. Questo indica scarsa attitudine dei sistemi PID nel controllo degli ABS, o meglio indica che in base a questi due parametri valutativi (spazio d'arresto ed errore di velocità angolare) i sistemi PID sono meno efficienti di quelli ad anello e degli NPID.
Il controller ad anello offre migliori prestazioni e talvolta supera persino l'NPID, tuttavia è poco efficace su fondi scivolosi o in caso di variazioni nella dinamica della frenata.
Si ritiene però migliore il controller NPID in quanto offre ottimo compromesso in tutti i casi, in particolare risulta piú efficiente nelle situazioni complesse.

Grafici riassuntivi

Bibliografia

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Society of Automotive Engineers, Inc., 1992

9. F. Jiang
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10. J. Han and W. Wang
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11. Jingqing Han
A new type of controller: NLPID
Control and Decision (Chinese), Vol.9, No.6, pp.401-407, 1994

12. Zhiqiang Gao, Huang Yi
An alternative paradigm for control system design
submitted for publication. 

A cura di Marco Sala